Operadores (ejercicio pruebas universidad del cauca 30 de mayo/2017

Hallar;
(i + j) * (i - j) - (i + k) * (i - k) 

a)  2 (j - k)
b)  0 
c) - 2(k + j)
d)   2(k - j)

Solucion .
Utilizas distributiva
(i + j) * (i - j) - (i + k) * (i - k) =
(i * i) - (i * j) + (j * i) - (j * j) - [(i * i) - (i * k) + (k * i) - ( k * k)] =
-1 - (k) + ( - k) -  ( - 1) - [-1 - (- j) + ( j) -( - 1)]=      Reducimos parentesis
- 1 - k - k + 1 - [ - 1 + j + j + 1] =                  Reducimos terminos semejantes
- 2k - [ 2 j] =                               Reducimos corchetes
- 2k - 2j =          Factorizamos el  - 2
- 2(k + j]

Respuesta.
Opción C

Ejercicio prueba universidad del Cauca 30 mayo/2017

Problema.

El promedio del precio de 5 galones de gasolina es de 13, pero al añadir otro galón el promedio disminuye a 12.  Cuál es el precio del galón añadido.

Solución.

Los 5 galones los llamaremos A , B , C , D ; E

A + B + C + D + E
------------------------ = 13
              5

A + B + C + D + E = 13 * 5
A + B + C + D + E = 65     (1)

EL nuevo promedio cuando añadimos un galon que llamaremos H

A + B + C + D + E + H
------------------------------ = 12
                 6

(A + B + C + D + E ) + H = 12 * 6          Remplazamos el parentesis por el valor de (1)
65 + H = 72
H = 72 - 65
H = 7

Respuesta.
El valor del galón añadido es de 7

Ejercicio prueba Universidad del Cauca mayo 30/2017

Problema.

Cuál es el menor número que multiplicado por si mismo, se le resta 12 veces el valor del número y al resultado de esta operación se le suma 36 y este resultado se divide entre 5  obteniendo como resultado 5.

El número = x

[(x . x  - 12x) + 36]/5 = 5
(x^2 - 12x) + 36 = 5 * 5
x^2 = 25
x^2 - 12x + 36 - 25 = 0     
x^2 - 12x + 11 = 0                 Factorizas trinomio de la forma x^2 + bx + c
(x -  11)(x - 1) = 0                 Tiene como solución dos raices reales diferentes
x - 11 = 0
x = 11
  o
x - 1 = 0
x = 1

Pero como dice el menor número, entonces la solución es x = 1

Respuesta.
El número es el 1

Resolver Problemas Matematicos: Razonamiento matematico( problema de la universida...

Problema.

Un niño sube unos escalones para llegar al piso donde esta su casa, el niño se da cuenta que si los sube de dos en dos sobra 1 escalon , si los sube de 3 en 3 sobra dos escalones, pero si los sube de 4 en 4 sobran 3 escalones. Cuántos escalones hay para llegar al piso del niño?

Solución.

Si los sube de 2 en 2 sobra 1, entonces el número de escalones es un multiplo de  2 + 1
Si Los sube de 3 en 3 sobra 2 , entonces el número de escalones es un multiplo de 3 + 2
Si los sube de 4 en 4 sobra 3 , entonces el número de escalones es un multiplo de 4 + 1

De 2 en 2 = 2° + 1  Pero el 1 lo pedemos representar como 2 - 1
De 3 en 3 = 3° +2   Pero el 2 lo podemos representar como 3 - 1
De 4 en 4 = 4° + 3  Pero el 3 lo podemos representar como 4 - 1

De 2 en 2 = 2° + 1 =  2°  + 2 - 1 = (2° + 2) - 1 = 2° - 1
De 3 en 3 = 3° + 2 =  3° + 3 - 1  = (3° + 3) - 1 = 3° - 1
De 4 en 4 = 4° + 3 =  4° + 4 - 1 = ( 4° + 4) - 1 = 4° - 1
El número de escalones esta dado por el mcm de 2 , 3 y 4  y a este mcm le restas 1

2° = Multiplo de 2
3° = Multiplo de 3
4° = Multiplo de 4
Hallas el mcm de  2 , 3 y 4

Descompones.
2     3    4    2(mitad)
1     3    2    2.............
1     3    1    3(tercera)
1     1    1
Mcm de 2 , 3 y 4 = 2 * 2 * 3 = 12 
El número de escalones = 12 - 1 = 11

Respuesta.
Para llegar a la casa del niño hay que subir 11 escalones.

Razonamiento matematico( problema de la universidad del Cauca mayo 30/2017

Problema de las pruebas universidad del Cauca mayo 30/2017


Problema.

La suma de las cifras del menor número que multiplicado por 3  de un número terminado en 637

Solución.

-----    -----   -----  ----- -----
                                      X 3
-----------------------------------
                                        637 

                     8     7      9
------  -----  ----- ----- ----            Para obtener el menor número debes darle a los dos que fal-
                                 X 3             tan el valor de 0 y 1 . El cero no puede ir de primero
-------------------------------
                                 637 

  1    0      8      7     9
----  ----  ----  ----  ----
                            X 3
---------------------------
                            637

Suma de las cifras
1 + 0 + 8 + 7 + 9 = 25

Respuesta.
La suma de las cifras del número es de 25

tronco de cono

Hallar el volumen del tronco de cono.
Si R*r = 10
Si R +r = 8
h = 6

Solución.

h = 6
R*r = 10
R + r = 8

Formula.

Volumen tronco de cono(Vt) = (pi * h)/3 *(R^2 + r^2 + R * r)
Vt = (pi * 6)/3 * (R^2 + r^2 + Rr)      Simplificas el 3
Vt = 2 * pi * (R^2 + Rr + r^2)      Completamos en el parentesis un trinomio al
                                                         cuadradp perfecto para ello le sumamos y restamo Rr 
Vt = 2 * pi( (R^2 + Rr + Rr +r^2) - Rr)   Factorizamos el trinomio
Vt = 2 * pi((R + r)^2 - Rr)
Vt = 2 * pi((8)^2 - 10)
Vt = 2 * pi(64 - 10)
Vt = 2 * pi(54)
Vt = 108*pi

Respuesta.
108*pi

Cuántos triángulos hay el la figura.

Solución.

Formula para encontrar la cantidad de triángulos(CT)

CT = n(n + 1)/2         (n = Cantidad de bases que tiene la figura)

Como se ve el triángulo esta dividido por una secante MN

Para el triángulo MAN La cantidad de bases = 7
CT = 7(7 + 1)/2
CT = 7 * 8/2     Simplificas el 2
CT = 7 * 4 = 28

Como la cantidad de bases en el triángulo ABC son las misma del triángulo MAN tenemos entonces la misma cantidad de triángulos osea 28

Total triángulos en toda la figura = 28 + 28 = 56

Respuesta.
En la figura hay 56 triángulos

Probabilidades 2

Problema.

En una urna hay 4 bolas rojas, y 9 bolas blancas.
Cuál es la probabilidad de roja o roja
Cual es la probabilidad de roja y roja , si en ambos caso se devuelve la bola a la urna.

Solución.

Probabilidad = Casos Favorables / Casos Posibles.
Casos posibles = Total  bolas =  4 + 9 = 13
Casos psibles = Bolas rojas = 4

Roja o Roja.
Probabilidad(RvR) = P(RvR)

 4           4           8
----   + ---- =    ------
13         13        13

 Respuesta.
8/13


Probabilidad de roja y roja = P(RyR)

P(RyR) = 

  4        4          16
----- . ----- =  -------
 13      13        169

Respuesta.
16/169

De la grafica hallar la altura del edificio.

Solución.

h = Altura del edificio

Del triángulo BCD

Tan30° = Cateto opuesto / Cateto adyacente
Tan30° = h/x         (Tan30° =  0,577  reemplazas)
0,577 = h/x
0,577x = h              Ecuación(1)

Del triángulo ABD
Tan15° = h/(60 + x)     (Tan15° = 0,267  reemplazas)
0,267 = h/(60 + x)
0,267(60 + x) = h          (Ecuación 2)

Igualas ecuación(1) y ecuación(2)
0,577x = 0,267(60 + x)
0, 577x = (0,267 * 60) + 0,267x
0,577x = 16,02 + 0,267x
0,577x - 0,267x = 16,02
0,31x = 16,02 
x = 16,02/0,31
x = 51,677

Tomas la ecuación1
0,577x = h
0,577(51,677) = h
29,81 = h

Respuesta.
La altura del edificio es de 29,81m aproximadamente
 

Area sombreada Claudia Giraldo

Hallar el area sombreada.

E Es el punto medio del lado CD
Los segmentos AD y CB son las diagonales del cuadrado
L = Lado del cuadrado = 12m
Area del cuadrado = Lado por Lado = L * L
 
Solución.

Del triángulo  CBD
El segmento BD es medina del triángulo.   (Por ser E punto medio de el segmento CD)
El segmento DO es mediana del triangulo   (Porque O es el punto de intersección de
                                                                           las diagonales del cuadrado luego el segmento
                                                                          CO = OB
Trazas la mediana CR
El tiangulo queda divisido en  6 secciones y por propiedad de las medians estas 6 secciones son de igual area.


Area sombreada(As) = El area de la mitad del cuadrado sobre 6
As = {( L * L)*2]/6
As = (12m * 12m)/12        Simplificas el 12
As = 12m^2

Respuesta.
El area sombreada vale 12m^2
 
 

Ecuaciónes9

Problema.

En un parqueadero hay 60 vehiculos entre carros y motos, si en total hay 60 vehiculos y 160 llantas .  ¿Cuántos carros y cuantas motos hay?

Solución.


Total carros = x
Total motos = 60 - x

Total llantas 
De carros = 4x
De motos = 2(60 - x)

4x + 2(60 - x) = 160
4x + 120 - 2x = 160
2x + 120 = 160
2x = 160 - 120
2x = 40
x = 40/2
x = 20
Total carros = x = 20
Total motos = 60 - x = 60 - 40 = 40

Respuesta.
En el parqueadero hay 20 carros y 40 motos

 

Operadores matematicos.

Resolver.

Hallar el area  sombreada.

Area del cuadrado = Lado por Lado
Area del triángulo = Base por Altura/2 = B * Al/2

Solución.

Area sombreada(As) = Area del cuadrado - area del trianguloFDE - Area del triánguloBCD
As = (Lado * Lado) - ( B * Al)/2 - (B * Al)/2
As = (6cm * 6cm) - (6cm * 4cm)/2 -  (6cm * 4cm)/2
As = 36cm^2 - 24cm^2/2 - 24cm^2/2
As = 36cm^2 - 12cm^2 - 12cm^2
As = 12cm^2

Respuesta.
El area sombreada vale 12cm^2

 
 

Fraccionarios.

Graficar .  El faccionario 3/6

 3
----
 6

El 6 indica el numero de veces que debes dividir la unidad y el 3 el numero de veces que tomas de la unidad

Probabilidad2

Problema.

Una urna contiene 4 bolas rojas , 5 bolas blancas  y 6 bolas negras , si se extrae una bola.
¿ Cual es la probabilidad de que sea roja o blanca?

Solución.

Total bolas rojas      = 4
Total bolas blancas = 5 
Total bolas negras =  6
-----------------------------
Total bolas           = 15


Probabilidad =  Casos Favorable/Casos Posibles

Casos Posibles = Total bolas = 15
Casos Favorables = Total rojas = 4
Casos Favorables = Total bolas blancas = 5

Probabilidad de roja = P(R) = 4/15
Probabilidad de blanca = P(B) = 5/15

Probabilidad de roja o blanca = P(RUB) = 4/15 + 5/15 = 9/15   (simplificas sacas tercera)}
P(RUB) = 3/5

Respuesta.
P(RUB) = 3/5

Ecuaciones 8

Problema.

Hallar dos números consecutivos tal que 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4

Solución.

Número menor = x
Número mayor = x + 1

4/5(x + 1) =  x - 4
4(x + 1) = 5(x - 4) 
4x + 4 = 5x - 20
 4 + 20 = 5x - 4x
24 = x
El número menor = x = 24
Número mayor = x + 1 = 24 + 1 =25

Respuesta.
Los números son el 24 y el 25

Factorizar.2

Factorizar.

3ab^2 - 3a   =      Sacas factor común 3a
3a(b^2 - 1) =       En el parentesis aplicas diferencia de cuadrados aplicas 
                             a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
 3a(b^2 - 1^2) =
3a(b + 1)(b - 1)

Respuesta.
3ab^2 - 3a = 3a(b + 1)(b - 1)

Productos Notables.

Resolver.

Solución.
Aplicas productos notables.
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(3a + b)^2 =
(3a)^2 + 2(3a)(b) + b^2 =
3^2a^2 + 6ab +b^2
9a^2 + 6ab + b^2


Aplicas.
(x + a)(x + b) = x^2 + +b)x + a*b

(x + 6)(x + 3) =
x^2 + (6 + 3)x + 6 * 3 =
x^2 + 9x + 18


Aplicas.
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

(x + 15)(x - 15) =
x^2 - (15)^2 =
x^2 - 225

Cilindro.

Hallar el volumen de un cilindro  de altura 13cm y el diametro de su base mide 9cm.

Solución.

Altura del cilindro(h) = 13cm
Diametro de la base = 9cm
Radio de la base (r) = diametro/2 = 9cm/2 = 4,5cm
pi = 3,14 
Area = pi * radio^2 = pi * r^2

Formual.

Volumen del cilindro(Vc) = Area de la base * altura del cilindro 
Vc =  pi * r^2 * h
Vc = 3,14 * (4,5cm)^2 * 13cm
Vc = 3, 14 * 4,5cm * 4, 5cm * 13cm
Vc =  826,605cm^3

Respuesta.
El volumen del cilindro es de 826,605cm^3

Matematicas.5

Descomponer el número 520  en sus factorse primos.



Solución.

520      2(mitad)
260      2,,,,,,,,,,, 
130      2,,,,,,,,,,
 65      5(quinta=
  13    13(13ava)
   1 
520 = 2 * 2 * 2 * 5 * 13 
520 = 2^3 * 5 * 13 

Respuesta.
520 = 2^3 * 5 * 13

Matematicas.4

Un vendedot tiene entre 200 y 250   naranjas. Si las cuenta de 12 en 12 no le sobran, si las cuenta de 15 en 15 no le sobran , si las cuenta de 20 en 20 no le sobran . Cuántas naranjas tiene el vendedor?

Solución.

Sacas el mcm de 12 , 15 y 20

12      15       20      2(mitad)
 6       15       10      2,,,,,,,,,,,,,
 3       15         5      3(tercera)
 1        5          5      5(quinta)
 1        1          1
El mcm de 12 , 15 y 20 es = 2 * 2 * 3 * 5 = 60 

Miras los multiplos de 60
60 * 1 = 60
60 * 2 = 120
60 *3 = 180
60 * 4 = 240
60 * 5 = 300
El multiplo que esta comprendido entre 200 y 250 es 240

Respuesta.
El vendedor tiene 240 naranjas

Mataticas3

Calcula.

3/5 de los 2/3 de los 7/4 de 50000 

Solución.

3/5 de los 2/3 de 7/4 de 50000 =     
3/5 * 2/3 * 7/4 * 50000 =
(3 * 2 * 7 * 50000)/(5 * 3 * 4) =           Simplificas el 5 y el 3
( 2 * 7 * 10000)/(  4)  =                        Simplificas el 4
2 * 7 * 2500 = 
  35000

Respuesta.
35000
 

Trigonometria 2

Demostrar.

senx.secx = tanx            (secx = 1/cosx  reemplazamos)
senx . 1/cosx = tanx
senx/cosx = tanx           (senx/cosx = tanx reemplazamos)
tanx = tanx


secx -cosx = senxtanx    (secx = 1/cosx   reemplazamos)
1/cosx - cosx = senxtanx
1/cosx - cos^2x/cosx = senxtanx
(1 - cos^2x)/cosx = senxtanx      (Por identidad fundamental 1 - cos^2x = sen^2x)
sen^2x/cosx = senxtanx             (Como sen^2x = senxsenx reemplazamos)
senxsenx/cosx = senxtanx
senx(senx/cosx) = senxtanx        (senx/cosx = tanx reemplazamos)
senxtanx = senxtanx

geometria.

Hallar el area sombrea.

Solución.

Tenemos que hallar el  area del rombo (Tiene sus 4 lados iguales)
La medida del lado del rombo es igual a la medida del radio de la circunferencia, si dividimos el rombo en dos triángulos estos triangulos son equilateros.

Area sombreada(As) = 2 * (area del triángulo) 
As = 2 * (Lado^2v3/4)         (porque el area de un triángulo equilatero es = L^2v3/4)
As = 2 ((16cm)^2v3/4          Simplificamos el 2
As = (16cm)^2 v3/4
As =  256cm^2v3/2             Simplificamos el 2
As = 128v3cm^2 

Respuesta.
El area sombreada es de 128v3cm^2

v = Raiz

Hallar el area sombreada, si el lado del cuadrado mide 24cm.

Solución.


Lado del cuadrado(L) = 24cm
pi = 3,14

Area sombreada(As) = Area del cuadrado - Area de 1 + 2  (1 + 2 forman un semicirculo de
                                                                                                    radio 12cm)
As = L^2 - pi * radio^2/2
As = (24cm)^2 - 3,14 * (12cm)`2/2
As = 576cm^2 - 3,14 * (12cm)(12cm)/2
As =  576cm^2 -  452,16cm^2/2
As = 576cm^2 -   226,08cm^2
As =  349,92cm^2

Respuesta.
El area sombreada vale 349,92cm^2 aproximadamente

fisica.2

Problema.

Un tren va con una velocidad de 18m/s frena y se detiene en 15s. Calcular la aceleración y la distancia recorrida al frenar.


Solución.

Vf = Velocidad final = 0     (Porque el tren se detiene)
Vi = Velocidad inicial = 18m/s
t = Tiempo = 15s
a = aceleración = ?

Formula.

Vf = Vi + at
0 = 18m/s + a * 15s
- 18m/s = a * 15s
- 18m/s /15s = a
 - 1,2m/s^2 = a
La aceleración es de - 1,2m/s^2     ( Es negativa por tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado)


Formula.

S = Vi * t + at^2/2
S = 18m/s * 15s - (1, 2m/s^2)(15s)^2/2
S =  270m - (1, 2m/s^2)(15s)(15s)/2
S = 270m - 270m/2
S = 270m - 135m
S = 135m
El tren recorre 135m mientras desacelera y se detiene

ecuaciones 8

Problema.

La edad de un padre es el triplo de la edad de su hijo , si el padre tiene 30 años. Dentro de cuántos años la edad del padre sera solo el doble de la edad del hijo?

Solucion

 Edad del hijo = x
Edad del padre = 3x
3x = 30
x = 30/3
x = 10
Edad del hijo = x =10 años.

Dentro de y años.
Edad del hijo = 10 + y
Edad del padre = 30 + y

2(10 + y) = 30 + y
20 + 2y = 30 + y
2y - y = 30 - 20
y = 10

Respuesta.
Dentro de 10 años el padre tendrá el doble de la edad del hijo

Geometria 2

                                                                                                                                                                               
El ancho de un rectangulo mide 22cm y su largo mide 15cm.  Cuánto mide la diagonal del rectangulo.

Solución.

Largo (L) = 15cm
Ancho(A) = 22cm
Diagonal = D

Aplicando teorema de pitagoras

Diagonal elevada al cuadrado = Ancho elevado al cuadrado + Largo elevado al cuadrado
D^2 = A^2 + L^2
D^2 = ( 22cm)^2 + (15cm)^2
D^2 =  484cm^2 + 225cm^2
D^2 =  709cm^2
D = v709cm^2       (v = Raiz) 
D = 26,63cm

Respuesta.
La diagonal del rectagulo mide 26,63cm aproximadamente.

Geometria.

.


Hallar el area sombreada de la figura . si el diametro de la circunferencia grande es de 12cm

Solución.

pi = 3,14
R = Radio circulo grande
r = Radio circulos pequeños

Area sombreada = Area del circulo grande - areas de regiones 1, 2 , 3 , 4 ( las regiones 1 , 2 , 3 , 4 forman dos circulos de radio = 3cm)

As = pi * R^2 -  2 * pi * radio de las circulos pequenos
As = pi * r^2 - 2 * pi * r^2
As = 3,14 * (6cm)^2 - 2 * 3,14 * (3cm)^2
As = 3,14 * 6cm * 6cm - 2 * 3,14 * 3cm * 3cm
As =  113,04cm^2 -  56,52cm^2
As =  56,52cm^2

Respuesta.
El area sombreada es de 56,52cm^2

 

Ecuación 7

Problema..

La edad que tendré dentro de x años, es a la que tenia hace x años como 14 es a 3. Si actualmente tengo 34 años .
Que edad tendre dentro de x/2 años?


Solución.

Edad actual = 34
Edad que tendre dentro de x años = 34 + x
Edad hace x años  = x - 34

34 + x       14
-------- =  -------
34 - x          3


3(34 + x) = 14(34 - x)
 102 + 3x =  476 - 14x
3x + 14x = 476 - 102
17x = 374
x = 374/17 
x = 22

x/2 = 11
La edad que tendré dentro de x/2 años = 34 + 11 = 45 años

Respuesta.
Dentro de x/2 años tendré 45 años
 

Ejercicio 2 sobre grifos

Problema.

Un tanque puede ser llenado por dos grifos uno de ellos lo llena en 36h y el otro en 30h . En cuánto tiempo se llenaran el tanque abriendo los dos grifos a la vez?


Solucion:

En una hora el primer grifo llenara 1/36 de la capacidad del tanque
En una hora el segundo grifo llenara 1/30 de la capacidad del tanque.

Si abriendo los dos grifos llenan el tanque en x horas, entonces.
En una hora los dos grifos llenaran 1/x de la capacidad del tanque


1/36 + 1/30 = 1/x
30/(36 * 30) + 36/(30*36) = 1/x
30/1080 + 36/1080 = 1/x
(30 + 36)/1080 = 1/x
66/1080 = 1/x 
66x = 1080
x = 1080/66
x =  16,37h

Respuesta.
Los dos grifos llenan el tanque en 16,37 horas aproximadamente

Ecuaciones 6

Problema.

Estoy leyendo un libro de 450 hojas, si lo que he leido es la tercera parte de lo que me falta por leer. Cuál es la siguiente pagina que leeré?.

Solución.

Total hojas = 450
Total paginas = 900

Lo que he leido = x/3
Lo que me falta por leer  = x

x + x/3 = 900
3x/3 + x/3 = 900
(3x + x)/3 = 900
4x/3 = 900
4x = 900 * 3
x = (900 * 3)/4         Simplificas el 4 
x = 225 * 3
x =  675
Lo que he leido =  x/3 = 675/3 = 225
Como he leido 225 páginas la siguiente pagina que leere es la 226

Respuesta.
La siguiente página que leere es la 226

Ecuaciones complejas,

Resolver.

x^2 + 9 = 0
x^2 = - 9
x = v-9                         Tiene como solución dos raices imaginarias
x = +o -v(9 * - 1)         Aplicas propiedad de laradicación v(a * b) = va * vb
x =  +  - v9 * v-1        Pero v-1 = i
x = +/ -3i

 Solución.
(3i , - 3i)


Nota.
v = Raiz

Productos Notables.

Resolver.

(2a - 3b)^3


Solución.

Aplicas.
( a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

(2a - 3b)^3 =
(2a)^3  - 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 - (3b)^3 =
8a^3 - 3(4a^2)(3b) + 6a(9b^2) - 27b^3  =
8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3

Respuesta .
8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3

Fisica 1

Problema.

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49m/s . Cual es la maxima altura a la que puede llegar y cuánto tiempo permanece en el aire?


Solución.

Vi = Velocidad inicial = 49m/s
Vf = Velocidad final =  0
g = Gravedad = - 9,8m/seg^2        
t = Tiempo = ?
h = Altura = ?

Hallamos t

Formula.
Vf = Vi - gt
0 = Vi - gt
- Vi = - gt
-Vi/ -g = t
Vi / g = t
 49m/s /(9,8 m/s^2) = t 
5s = t

Lo que se demora en el aire es el tiempo que gasta en subir y bajar y como el tiempo de subida igual al tiempo de bajada.
 Lo que dura en el aire = 5s + 5s = 10s


La altura maxima.
 Formula.
h = vi. t - gt^2/2
h = 49m/s * 5s - 9.8m/s^2(5s)^2/2
h = 245m - 245m/2         Simplificamos  el 2
h = 245m - 122,5m 
h = 122,5m
La altura maxima 122,5m
 

Probabilidades.

Problema.

Cual es la probabilidad de que al lanzar dos dados  resultado de la suma sea 10.


Probabilidad =    Casos Favorables / Casos Posibles.


Caso posibles = 6^n     Donde  6 =a los resultados de el dado y n = al número de dados
Casos Posibles = 6^2 = 6 * 6 = 36

Casos favorables.
4 con  6 (4 , 6)
5 con 5  (5 , 5)
6 con 4 (6 , 4) 
 Casos favorables = 3

Probabilidad = 3/36      Simplificas sacas tercera
Probabilidad = 1/12

Respuesta.
Probabilidad de sacarsuma = 10 es de 1/12

Simplificación de fracciones algebraicas.

Simplificar.

     y              3
--------- -  ----------  =
y^2 - 9     y^2 - 9


  y - 3
---------- =       Factorizas el denominador aplicas diferencia de cuadrados
y^2 - 9            a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

     y - 3
--------------  =
y^2 - 3^2 

      y - 3
-----------------  =     Simplificas (y - 3)
(y + 3)(y - 3)


    1
-------
y +3


Respuesta.

    1
---------
y + 3

Ecuación 5

Problema.

En un banco hay 3 filas , una para consignar, la 2da para retirar, la tercera para pagos de facturas, si en la fila 3 hay el doble de personas  que en la fila dos y en la fila uno hay 2/3 del número de personas  que hay en la fila dos y se sabe que en el banco hay 55 personas haciendo fila, entonces ¿ que cantidad de personas hay pagando facturas.

Solución

Numero de personas en la fila dos = x
Numero de personas en la fila 3 =  2x
Numero de personas en la fila 1 = 2x/3

x + 2x + 2x/3 = 55
 3x + 2x/3 = 55
9x/3 + 2x/3 = 55
(9x + 2x )/3 = 55
11x/3 = 55
11x = 55 * 3
x = (55 * 3)/11       Simplificamos el 11
x = 5 * 3
x = 15 

La tercera fila es para pagos de facturas = 2x = 2 * 15 = 30

Respuesta.
Hay 30 personas pagando  facturas

geometria.

Problema.


Una rueda tiene un radio de 20cm. ¿ Que distancia corre la rueda si da 150 vueltas?


Solución.

Radio de la rueda = 20cm
pi = 3,14

Formula.
Longitud de la circunferencia de la rueda( L) = 2 * pi * radio
L = 2 * pi * radio
L = 2 * 3,14 * 20cm
L =  125,6cm

Para saber cuanto recorre multiplicas.

Total recorrido = 150 * 125,6cm
Total recorrido =  18840cm
Total recorrido = 188,4m

Respuesta.
La ruedad recorre 188,4m

Ecuación 4

El promedio de la edad de una familia conformada por el padre la madre y los hijos es de 22 años, si la edad del padre es de 46 años y el promedio de la edad de la madre y sus hijos es de 18 años. Cual es el número de hijos que tiene la familia  ?

Solución.

Edad del padre = P = 46
Edad de la madre = m
Edad de los hijos = h
 Promedio de la edades de la familia = 22
Promedio de la edad de la madre y los hijos = 18
Total de numero de personas que conforman la familia = x


Promedio de la familia= A la suma de las edades de la familia / Numero de personas que conforman la familia

22 = ( p + m + h)/x
22 = (46 + m + h)/x
22x = 46 + m + h      Despejamos m + h
22x - 46 = m +h   ( Ecuación 1)

Dice:

Promedio edad madre e hijos = (m + h)/(x -1)     El - 1 porque se saca el padre
18 = (m + h) /(x - 1)            Despejamos m + h
18(x - 1) = m + h
18x - 18 = m + h           (Ecuación 2)

Igualamos (1) y (2)

22x - 46 = 18x - 18
22x - 18x = - 18 + 46
4x = 28
x = 28/4
x = 7
El total de miembros de la familia es de 7
Total hijos = 7 - el padre - la madre
Total hijos = 7 - 1 - 1
Total hijos = 5

Respuesta.
El número de hijos de la familia es de 5

 

Repartos Proporcionales.

Problema.

Un padre reparte $ 65000 entre sus 3 hijos  proporcionalmente a sus edades de 8 , 12 y 20 años.
¿ Cuánto le toca a cada uno?


Solución.

Lo que le toca al menor = 8x
Lo que le toca al del medio = 12x
Lo que le toca al mayor = 20x

8x +12x  + 20x = 65000
40x = 65000
x = 65000/40
x =1625
Lo que le toca al menor = 8x = 8 * 1625 = $ 13000
Lo que le toca al del medios = 12x = 12 * 1625 = $ 19500
Lo que le toca al mayor = 20x = 20 * 1625  = $ 32500

Respuesta.
A cada hijo le toca $ 13000 , $ 19500 y  $32500 respectivamente

Ecuación3

Problema.

Pedro  compran 3 manzanas en $ 10 y se venden 5 manzanas por $ 20 . Cuántas manzanas debe venderse Pedro  para ganar $ 150?

Solución.

3 manzanas valen  $10
5 manzana se venden en $ 20

Buscas el mcm de 3 y 5 que por ser números primos su mcm = 3 *5 = 15

Por regla de 3 simple directa.

3 m-----> $10
15m----->  x
x = 15m * $10/3m
x =  $150/3
x = $ 50 
Por 15m paga $ 50

5m-----> $ 20
15m--->   x
x = 15m * $ 20/5m
x = $ 300/5
x = $ 60
Vende 15 manzanas por $ 60

Ganacia por venta de 15 manzanas = $ 60 - $ 50 = $ 10

Por ventade
15 m------> $10
  x ---------> $150
x = 15m * $ 150/$10
x = 2250m/10
x = 225

Respuesta.

Pedro debe vender 225 manzanas para ganar $ 150

Ecuaciones 2

Problema.

La suma de dos números es 47 y su diferencia es 13.  Hallar los números.


Solución. 
Número mayor = x
Numero menor = 47 - x

x - (47 - x) = 13
x - 47 + x = 13
2x - 47 = 13
2x = 13 + 47
2x = 60
x = 60/2
x = 30
Numero mayor = x = 30
Numero menor = 47 - x = 47 - 30 = 17

Respuesta.
Los números son el 30 y el 17

Pitagoras

 Problema.
Los catetos de un triángulo rectangulo miden respectivamente 5cm y 8cm .  Cuánto vale su hipotenusa.


Aplicas.
Teorema de Pitagoras
Dice:
Hi potenusa elevada al cuadrado = Cateto1 elevado al cuadrado + Cateto2 elevado al cuadrado

Solución.
Hipotenusa (h)= ?
Cateto1(c1) = 5cm
Cateto2(c2)  = 8cm

h ^2 =(c1)^2 +(c 2)^2
h^2 = (5cm)^2 + (8cm)^2
h^2 = 25cm^2 + 64cm^22
h^2 = 89cm^2
h = v(89cm^2)          (v = Raiz) 
h = 9,43cm

Respuesta.
La hipotenusa mide 9,43cm aproximadamente

 
Racionalizar.


    4
--------- =   Multiplicas el numerador y denominador  por la conjugada del denominador  2 - v6
2 + v6

    4               2 - v6
--------- x ------------ =
2 + v6         2 - v6


       4(2 - v6)
--------------------- =    Aplicas productos notables (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
(2 + v6)(2 - v6)


   4(2 - v6)
----------------- =
2^2 - (v6)^2 


4(2 - v6)
------------  =
  4 - 6 

4(2 - v6)
-----------=     Simplificas el 2
   - 2 


- 2(2 - v6)    

Respuesta.
-2 (2 - v6)

Nota.
v = Raiz

ecuaciones cuadraticas.

Halar la solución de.

x^2 + 13x - 30 = 0

Solución-

x^2 + 13x - 30 = 0      Factorizas trinomio de la forma x^2 + bx + c
(x + 15)(x - 2) = 0      Tiene como solución dos raices reales.
x + 15 = 0
x = - 15
   o
x - 2 = 0
x = 2

Respuesta.
Solución.
(- 15 , 2)

Fracciones equivalentes.

Las fracciones    2/7 y 4/15 son equivalentes?


Solución.

 2                    4
---                 -----          Multiplicas en x
 7                  15

2 * 15          4 * 7
  30                28           Por ser los resultados diferentes las dos fracciones no son equivalentes


Respuesta.
2/7 y 4/15 no son equivalentes

Ecuación de la recta.

Problema.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 , 3) y tiene como pendiente - 2

Solución.

P1(2 , 3) 
Pendiente(m) = - 2

Formula.
Ecuación de la recta punto pendiente.

y - y1  =  m(x - x1)
y - 3 =  - 2(x - 2) 
y - 3 = - 2x +4
y = - 2x + 4 +3
y = - 2x +7

Respuesta.
y = - 2x + 7

Identidades trigonometricas

Demostrar que:

1 - senA              cosA
------------ =  ---------------   Multiplicas y divides el  1er lado de la identidad por   1 + senA
   cosA             1 + senA


(1 - senA)(1 + senA)                cosA             (Aplicas productos notables (a + b)(a - b) = a^2 - b^2)
--------------------------- =       ------------
   cosA( 1 + senA)                 1 + senA


1^2 - sen^2A                 cosA              (Aplicas identidad fundamental   1 - sen^2 = cos^2A)
---------------------- =  -------------
cosA(1 + senA)         1 + senA


      Cos^2A                  cosA
--------------------- = ----------------        Simplificas cosA del primer lado de la identidad
cosA(1 + senA)        1 + senA

    cosA                cosA
-------------- =  -------------
 1 + senA         1 + senA

Factorizar.


x^2 - 4x  + 4 

Caso trinomio al cuadrado perfecto
Aplicas.
a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
x^2 + 2(2x) + 2^2 =
(x - 2)^2

Respuesta.
(x - 2)^2
--------------------------------------------------------------------------------

25a^2 - 16/81 =

Caso diferencia de cuadrados.
Aplicas.
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
25a^2 - 16/81 =
5^2a^2 - 4^2/9^2
(5a+ 4/9)(5a - 4/9)

Respuesta.
(5a + 4/9)(5a - 4/9)

 

Problema sobre ecuaciones.

Problema.

En un examen de admisión de 100 preguntas. Claudia obtiene 4 puntos por cada respuesta correcta y pierde 2 puntos por cada respuesta incorrecta.   Si despues de haber resuelto el examen obtiene 88 puntos.
¿ Cuántas repuestas respondio correctamente?

Solución.

Número de respuesta correctas = x
Número de respuesta incorrectas = 100 - x

Total puntos.
Por respuesta correctas = 4x
Por respuesta incorrectas = 2( 100 - x)

4x - 2(100 - x) = 88
4x -  200 + 2x = 88
6x - 200 = 88
6x = 88 + 200

6x = 288


x = 48
Número de respuestas correctas = x = 48

Respueta.
Claudia respondio 48 respuestas correctas

Descuentos sucesivos.

Problema.

Un televisor cuesta $ 45.000. Mario quiere comprarlo y el dueño del establecimiento le hace dos descuentos sucesivos del 10% y 20%.
¿Cuanto debe pagar Mario por el televisor?


Solución.

Descuento1 (d1) = 10
Descuento2(d2) = 20

Formula para dos descuentos sucesivos.

Descuento total(Dt) = [d1 + d2 - d1 * d2/100]%
Dt = [ 10 +20 - 10*20/100]%
Dt = [30 - 200/100]%
Dt = [30 - 2]%
Dt = 28% 
El descuento total es del 28%

Lo que paga Mario es =45000 - 28% de 45000
Lo que paga Mario = 45000 - 28/100 * 45000
Lo que paga Mario = 45000 - 28 * 450
Lo que paga Mario = 45000 - 12600
Lo que paga Mario =  32400

Respuesta.
Mario debe pagar por el televisor $ 32400

 

Problemas sobre proporciones

Problema.

Dos números son entresi como 5 es 12. Si la suma de los cuadrados es 676.
¿ Cual es el número mayor?

´Solución.

Número menor = 5x
Numero mayor = 12x

(5x)^2 +  (12x)^2 = 676
25x^2 + 144x^2   = 676 
169x^2 =  676
x^2 = 676/169 
x^2 = 4
x = v4        (v = Raiz)
x = 2 
Número mayor = 12x = 12*2 = 24

Respuesta.
El número mayor es el 24

Geometria

problema.

Un angulo es 12° mayor que su complemento. Cuánto valen los ángulos.


Definicón.
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es igual a 90°

Desarrollo
El complemento = x   
Angulo = x + 12°

x + x + 12° = 90°
2x + 12° = 90°
2x = 90° - 12°
2x =  78°
x =  78°/2
x = 39°

El complemento = x = 39°
El ángulo = x + 12°
El ángulo = 39° + 12° = 51°

Respuesta.
Los ángulos miden 39° y 51° respectivamente
 

Aritmetica

 Tenemos.

S = 10 + 20 + 30 + ........ + 700

Se trata de una progresión aritmetica donde:

Diferencia(d) = 20 - 10 = 10
a₁ = 10
an = 700
n = Número de terminos


Formula.
an = a₁ + (n - 1) * d
700 = 10 + (n - 1) * 10
700- 10 = (n - 1) * 10
690 = (n - 1) * 10
690/10 = n - 1
69 = n - 1
69 + 1 = n
70 = n
La progresión tiene 70 terminos.

Formula para hallar la suma de los n terminos

S = (a₁ + an)* n/2
S = (10 + 700) * 70/2    Simplificas el 2
S = (710) * 35
S = 24850

Resspuesta.
S = 24850

Matematicas Generales

El promedio de edades de Abel , Beto , Carlos , Daniel y Ernesto es de 52 años, sino se considera la edad de Daniel el nuevo promedio disminuye en un año.  ¿Hallar la edad de Daniel?

 Para hallar el promedio se suma las edades y se divide por el numero de edades.
 Abel = A
Beto = B
Carlos = C
Daniel = D
Ernesto = E
 Promedio de las 5 edades = 52
 A + B + C + D + E
 ------------------------ = 52
                 5

A + B + C + D + E = 5 * 52
 A + B + C + D + E = 260 (1)

 Si sale Daniel Nuevo promedio.

 A + B + C + E
------------------- = 51
          4

 A + B + C + E = 4 * 51
A + B + C + E = 204 (2)
 Reemplazas este valor en (1)
A + B + C + D + E = 260
( A + B + C + E) + D = 260
204 + D = 260
D = 260 - 204
D = 56

Respuesta. La edad de Daniel es de 56 años



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Resolver.

Si
(a + b) =3
ab = 2
Hallar a^3 + b^3

Solución.
Partes de
(a + b) = 3       Elevas al cubo ambos miembros de la ecuación
(a + b)^3 = 3^3       Resuelves el producto notable cubo de un binomio
a ^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 3 * 3 * 3
(a ^3 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2 = 27       Factorizas 3ab
(a ^3 + b^3) + 3ab(a + b) = 27              Pero (a + b) = 3 reemplazas
(a ^3 + b^3) + 3(2) (3) = 27
(a ^3 + b^3) + 18 = 27
(a ^3 + b^3) = 27 - 18
a ^3 + b^3 = 9

Respuesta.
a ^3 + b^3 = 9