Geometria 16

Problema.
El triángulo ABC es equilátero
El segmeto AC  es tangente al la circunferencia 
El segmento AC es secante a la circunferencia
Hallar el area del tri´angulo ABC

Solución.

El segmento ED = 5
El segmetro DC =  4
AC = x

Por propiedad de la tangente y secante a la circunferencia tenemos que.

x^2 = EC * DC
x^2 = 9 * 4
x^2 =  36
x = v36        (v = 36   Significa raiz de 36)
x = 6 
El Lado del triángulo equilatero vale 6

Formula para sacar el area del triángulo equilátero

Area = L^2v3/4       (Lado elevado al cuadrado por la raiz de 3 sobre 4)
Area = 6^2v3/4
Area = 36v3/4           Simplificamos el 4
Area = 9v3

Respuesta.
El area del triángulo ABC = 9v3
 

Problemas de ecuaciones.

 Problema.


Una pelota cae al suelo y se eleva cada vez 2/3 de su altura anterior, despues de 3 rebotes se ha elevado 32 metros de altura.  ¿Desde que altura cayo al principio?



Solución.

Altura = x

En el 1er rebote alcanza 2/3 de x = 2x/3
En el segundo rebote alcanza 2/3 de 2x/3 = 2/3 * 2x/3 = (2 * 2x)/(3 * 3)  = 4x/9
En el 3er rebote alcanza 2/3 de 4x/9 = 2/3 * 4x/9 = (2 * 4x)/(3 * 9) = 8x/27 

8x/27 = 32
8x = 32 * 27
x = (32 * 27)/8       Simplificamos el 8
x = 4 * 27
x = 108

Respuesta.
La pelota tenia al principio una altura de 108m



 

Geometria 15

Problema:

                      
 El area del triángulo ABC = 18 unidades. Cuanto vale el area del triángulo ABD.

Solución.

Area del triángulo ABC = 18u
Las bases de los triangulos estan ABD y DAC en razon 2 a7, entonces por propiedad sus area son proporcionales a estas bases
Area e menor =  2x
Area mayor = 7x       

2x + 7x = 18
9x = 18
x = 18/9
x = 2
Area del triángulo ABD = 2x = 2 * 2 = 4

Respuesta.
El area del triángulo ABD = 4u

Ejercicio prueba universidad del Cauca.

Problema.

Dos números son entre si como como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140 para que el valor de la razón no se altere, el valor de número mayor debe quintuplicarse.
Hallar el valor del número mayor.


Solución.

la razón = 7/13
Número menor = 7x
Número mayor = 13x

7x + 140              7
------------- =    ------
  5(13x)              13

7x + 140            7
----------- =       ----
    65                 13
         
13(7x + 140) = 7 * 65x
91x +  1820 =  455x
1820 = 455x - 91x
1820 = 364x
1820/364 = x 
5 = x
El número mayor =  13x
El número mayor = 13 * 5 = 65

Respuesta.
El número mayor es el 65

Ejercicios pruebas pasadas de Unicauca

Problema.

Julian tiene un plan de teléfono de 600min mensuales, por el cual paga $ 72.000, si se pasa de los 600 min mensuales debe pagar por cada minuto adicional el 50% mas  del valor correspondiente al minuto de su plan.
Ana tiene su plan de teléfono de 900 min mensuales, por el cual paga $ 90.000, si se pasa de los 900min mensuales debe pagar pos cada minuto adicional el 40% más del valor correspondiente al minuto de su plan.
Si Julian recibe a fin de mes una factura por 1000min, entonces la cantidad en pesos que Julian habria ahorrado si estuviera en el plan de Ana es: 

Solución.

Julian.
Valor del plan = $72.000 Por 600 min
El valor del min es = 72.000/600 = 120
El valor de cad minuto en el plan es de $ 120

Vaor de cada minuto adicional = 120 + 50% de 120      (Recuerda que el 50% equivale a l
                                                                                             mitad del valor )
Valor de minuto adicional = 120 + 60 = 180
Cada minuto adicional vale $ 180

La factura le llega a Julian por 1000 minutos
Los minutos adicionales son = 1000 - 600 = 400

Lo que paga julian = 600min + 400adicionales
Lo que paga Julian = 72.000 + 400 * 180 = 72.000 +  72.000 = 144.000
Julian paga $ 144.000 por la factura.

En el plan de Ana
Valor plan = 99000 por 900 minutos.
Valor min = 99000/900  = 110
Valor minuto adicional = 110 + 40% de 110
Valor minuto adicional = 110 + 40/100 * 110 = 1100 + (40*110)/100 = 110 + 4 *11 
Valor minuto adicioanal = 110 + 44 = 154
Por cada minuto adicional Ana pagaria $ 154 

Julian si estuviera en el plan de Ana pagaria.

900min + 100 adicionale
99.000 + 100(154) = 99.000 + 15.400 =  144.400

Julian ahorraria si estuviera en el plan de Ana = 144.000 - 114.400 = 29.600


Respuesta.
Julian ahorraria $ 29.600 si estuviera en el plan de Ana

Geometria 13

Si ;
GR  y QS   Son secantes a la circunferencia
PT    Tangente a la circunferencia en T
 Hallar x


Solución.

Dice propiedad de la secantes. 
QM * MS = GM * MR
4 * 5 = 10 * y
20 = 10y
20/10 = y
2 = y

Propiedad de la tangente con una secante
x^2 =  PG * PR          (Pero PR = 4 + 10 + 2 = 16)
x^2 = 4 * 16
x^2 = 64
x = v64      (v64 = Raiz de 64)
x = 8

Respuesta.
x = 8

Geometria 12

ABCD Es un cuadrado  de lado = 4m 
CE es perpendicular a BF 
BF y DF = BD
Hallar el area sombreada.

Solución.

Area sombreada = AS

AS = Area de la mitad del cuadrado + Area del triángulo DBE

El triángulo DBF es equilatero Por ser BF Y DF = BD = 4m
DE  es la mediana del triángulo DBF por lo tanto divide al triángulo es dos triángulos de igual area

Area del triángulo equilátero = Lado^2v3/4     (v3 = Raiz de 3)
Area del cuadrado = Lado por Lado = L * L

As = L * L / 2 + area del triángulo DBF/2
As = (4m * 4m)/2 + (L^2v3/4)/2
As = (16m^1)/2 + (4m * 4mv3)/8
As = 8m^2 + 16^v3m^/8     Simplificas el 8
As = 8m^2 + 2v3m^2          Factorizas el 2
As = 2(4 + v3)m^2

Respuesta.
El Area sombreada vale 2(4 + v3)m^2

Geometria.10

Problema.

Hallar el número de diagonales de un heptágono.


Solución.

Heptágono = 7 lados
n = 7

Formula.

Número de diagonales(Nd) =  n(n - 3)/2
Nd =  7(7 - 3)/2
Nd = 7(4)/2          Simplificamos el 2
Nd = = 7 *2
Nd = 14

Respuesta.
El heptágono tiene 14 diagonales

 

Geometria.

                                                                                                                                                            

Si
r = 6
AB = 10
OM = ?

Solución. 

Como AB es una cuerda perpendicular al radio se cumple que: 
AM = MB = 5

Trazamos el radio OA y se forma el triángulo rectangulo  OAM
 
Aplicando Pitagoras al triángulo .

OM^2 =  r^2 - 5^2
OM^2 = 6^2 - 25
OM^2 = 36 - 25 
OM^2 = 11
OM = v11         (v11 = Raiz de 11)
OM = 3,31

Respuesta.
OM = 3,31 aproximadamente